LA INVERSIÓN EN GEOMETRÍA MÉTRICA

Hola a todos!

Hoy quiero hablaros de un tipo de transformación muy interesante en el dibujo técnico basada en el concepto de potencia, y con muchas aplicaciones en la resolución de los problemas angulares de puntos, rectas y circunferencias: La inversión

En primer lugar ¿que es una inversión?. Podemos definirla como una transformación conforme en la que un punto (A) está alineado con su inverso (A') respecto a un centro de inversión (I), de forma que el producto de las distancias es una constante denominada potencia de inversión (K):

IA*IA'=K2




Por tanto, para calcular la inversa de un punto respecto a un centro de inversión basta con calcular la potencia respecto a una circunferencia de radio la raiz de la potencia. En circunferencia aparecen puntos dobles ( coincide un punto y su inversa) y es denominada "circunferencia de autoinversión"






En este ejemplo estamos tratando de Inversión positiva, donde el punto (A) se encuentra dentro de la circunferencia de inversión, el punto invertido (A') en el exterior, y los dos puntos están alineados en el mismo margen respecto al centro de inversión (I)

Una de las cualidades de los puntos de inversión es que son concíclicos, esto es, se encuentran dentro de una circunferencia (c). Esta circunferencia coincide con su inversa (c') y tiene la cualidad de ser ortogonal con la circunferencia de autoinversión.

Una vez que hemos visto una definición de inversión de punto paso a mostraros la inversión de rectas y circunferencias según la situación del centro de inversión (I)

CASO 1: INVERSIÓN DE UNA RECTA QUE CONTIENEN EL CENTRO DE INVERSIÓN

En este caso la inversión de la recta (r) es la propia recta (r=r'). En el caso de inversión positiva los puntos y sus inversos aparecen a lo largo de la recta, según la potencia de inversión (definida a través del radio de la circunferencia de inversión)

                                                                                                           








CASO 2: INVERSIÓN DE UNA RECTA QUE NO CONTIENEN EL CENTRO DE INVERSIÓN

En esta situación la inversa es una circunferencia (r') que SI contiene el centro de inversión (I pertenece a c) cuyo centro se sitúa en la recta (b) perpendicular a la recta trazada desde el centro de inversión (I)

               


















CASO 3: INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE CONTIENE EL CENTRO DE INVERSIÓN

Es el opuesto al caso 2. De este modo, la inversa de la circunferencia (c) es una recta que no pasa por el centro de inversión (I) y que es perpendicular al diámetro de la circunferencia que contiene el centro de inversión.

           




















CASO 4: INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE NO CONTIENE EL CENTRO DE INVERSIÓN

En esta situación la inversa de la circunferencia (c) es otra circunferencia (c') en la cual el centro de inversión coincide con el centro de homotecia

       
















Este caso corresponde con la inversión positiva. En el caso de la inversión negativa (I-) tendríamos que unir los extremos opuestos de la circunferencia y su invertida


¿COMO PODEMOS EMPLEAR LA INVERSIÓN EN LA GEOMETRÍA MÉTRICA?

Una de las propiedades más interesantes es que la inversión se trata de una transformación conforme, donde el ángulo que forman dos elementos es el mismo que el que forman los elementos transformados.

       












En siguientes post, analizaremos algunas aplicaciones de estas propiedades en la resolución de problemas de tangencias y ortogonalidades entre circunferencias, puntos y rectas, a través de los denominados "problemas de Apolonio"

Para terminar este primer acercamiento os propongo un sencillo ejercicio de inversión de figuras geométricas.

EJERCICIOS DE DIBUJO TÉCNICO. INVERSIÓN

Dibujar la inversa del hexágono regular, dado el centro de inversión (I) y una pareja de puntos inversos (C-C')

SOLUCIÓN

GEOMETRÍAS EQUIVALENTES

Podemos definirlas como aquellas que tienen diferente forma pero el mismo área. Para su construccion recurrimos a nuestros conocidos Pitágoras y Thales, estableciendo la "media proporcional entre los diferetes lados de un triángulo rectángulo". 

En el ejemplo mostrado, a partir de un triángulo recto ABC (color azul) se ha realizado un cuadrado equivalente HJEI (color rojo), así como un rectángulo equivalente de proporción 1:2 EFLM (color verde). 

Si deslizais el punto rojo a lo largo del lado mayor del triángulo rectángulo, se modificarán las superficies, pero siempre serán equivalentes entre las diferentes figuras.

ANGULOS EN CIRCUNFERENCIAS

Ángulo central de una circunferencia

Dada una circunferencia, podemos definirlo como el haz de ángulos formado por dos radios de dicha circunferencia. Por ello, el vértice de unión se sitúa en el centro (O) de la circunferencia. El valor de cada ángulo es igual al arco de circunferencia que intersecta. En el ejemplo hemos trazado los radios a, b que definen el ángulo central (α) igual a la medida del arco AB

Ángulo inscrito

A diferencia del ángulo central, el ángulo inscrito está constituido por el haz de ángulos formados por dos lados que se corresponden con dos cuerdas de la circunferencia que intersectan en un punto (P) de dicha circunferencia. Por ello, el vértice de unión de estos lados se sitúa en el perímetro de la circunferencia. El valor de cada uno de estos ángulos corresponde a la mitad del arco de circunferencia que intersecta.

En el ejemplo hemos trazado las cuerdas c, d que definen el ángulo central (β), igual a la mitad de la medida del arco AB.

A partir de estas dos definiciones se puede decir que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco AB. Para demostrarlo procedemos a superponer ambos ángulos y a estudiar sus relaciones geométricas.

• Trazamos una recta que pasa por los vértices de los ángulos inscrito y central (P, O) y que corta a la circunferencia en el punto C.                                                              
• De esta forma el ángulo central (α) queda dividido en dos ángulos (α1, α2). Igualmente el ángulo inscrito (β) se divide en dos ángulos (β1, β2). Del triángulo resultante (OBC) establecemos relaciones entre sus ángulos, sabiendo que el triángulo (PBC) es rectángulo.

• Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Por tanto, para el triángulo isósceles resultante (OBC) establecemos la siguiente relación:

        α1+(90º-β1) + (90º-β1) = 180º; α1=2β1

        Del mismo modo, para el triángulo isósceles OAC podemos establecer lo siguiente:

        α2+(90º-β2) + (90º-β2) = 180º; α2=2β2

       A partid de estas dos formulaciones obtenemos la relación entre los dos ángulos:

       α=α1+α2=2β
       β= 1/2 α

  

Ángulo semiinscrito

Dada una circunferencia y un punto A de la misma, podemos definir el ángulo semiinscrio como el haz de ángulos formados por la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto A, y las cuerdas de la circunferencia que pasen por ese punto. 

En el ejemplo se ha trazado a partir del punto A la tangente a la circunferencia y la cuerda que pasa por los puntos A,B. El valor del ángulo formado α es igual a la mitad de la medida del arco BA

EJERCICIOS DE DIBUJO TÉCNICO

EJERCICIO 2.

Se propone trazar una autovía que pasa entre varios núcleos urbanos (Pueblos A, B, C y D) cada uno señalado con sus coordenadas (x,y). Debido al ruido y a la contaminación que genera la autovía, los diferentes pueblos se han puesto de acuerdo para que la carretera pase por el medio, y nunca esté más cercana a uno que a otro.

La carretera se inicia en el punto medio entre el pueblo A y B. Termina en el punto medio de la distancia entre C y D. En caso de que haya que unir tramos de distinta orientación, éstos deben de estar unidos por tramos curvos de 1.2 Km de radio.

¿Cómo trazarás este recorrido?

 

SOLUCIÓN

 

GEOMETRÍA MÉTRICA: MEDIATRIZ SOBRE UN SEGMENTO

1. DEFINICIÓN

El conjunto de puntos que son equidistantes a los extremos de un segmento permite obtener un lugar geométrico enormemente importante, el cual se emplea en numerosos casos de geometría métrica. Este lugar geométrico lo llamamos mediatriz o simetral.

Todo este conjunto de puntos conforman la mediatriz y forman una recta que es perpendicual al segmeto base por su centro. Esta propiedad permite definir la recta mediatriz de un segmento, como la recta perpendicual a un segmento que pasa por su centro (C).

2. CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIATRIZ

Cualquier punto de la mediatriz se sitúa a igual distancia de los puntos A y B. Al desplazarse a lo largo de la mediatriz la distancia a los puntos va variando pero siempre es la misma. Este concepto permite s construcción elemental para, dada la recta a, determinar dos puntos que equidisten de sus extremos. Para su construcción debemos seguir los pasos siguientes:

a) Con el compás, haciendo centro en el extremo A, se traza una circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de AB, en un cálculo, ya que precisamente estamos buscando ese punto medio exacto. Luego, haciendo centro en B, se traza otra circunferencia de igual radio que la primera.

Si ambas circunferencias no se cortan, significa que debemos aumental el radio de ambas

b) Cuando ambas se cortan, la recta que une a las dos intersecciones de las circunferencias (P1, P2) es la mediatriz del segmento AB. La intersección de la mediatriz con el segmento AB es el punto medio C.

Como resultado se obtiene una recta considerada como eje de simetría entre los puntos A y B.

3. SU IMPORTANCIA EN LA GEOMETRÍA

La mediatriz es uno de los elementos más empleados en geometría métrica para configurar lugares geométricos. Repasando algunos de los temas que se han dado en la clase:

a) Determinar una circunferencia que pasa por 3 puntos: esto se puede resolver sabiendo que la mediatriz de una cuerda de cualquier circunferencia pasa necesariamente por el centro de la misma.

b)  Construcción de arcos capaces: basándonos en lo descrito en el apartado a, para la construcción del arco se busca la intersección del lugar geométrico del centro de la circunferencia (mediatriz de la cuerda) con el ángulo complementario que forman los lados del tercer vértice.

c)  Propiedades de triángulos: en relación directa con el arco capaz, podemos decir que en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

Triángulo rectángulo

         Triángulo obtusángulo

         Triángulo acutángulo

En el caso de triángulos isósceles, el ortocentro, baricentro, incentro y el circuncentro, se encuentran alineados en la mediatriz de la base.

Como hemos visto, en este tipo de triángulos, a través de la mediatriz podemos calcular el punto circuncentro. Pero también podemos calcular este punto a través de la altura del triángulo. Para ello podemos emplear la construcción del arco capaz y determinar su ángulo central, el cual tendrá su vertice superior en el circuncentro del triángulo.

De esta forma podemos decir que el vértice del ángulo central del triángulo isósceles coincide con el circuncentro de dicho triángulo.

Con el transcurso de la asignatura iremos viendo muchos otros ejemplos de la implicancia de la mediatriz en las relaciones geométricas.

Os invito desde aquí a que vayamos coleccionando todos los casos que nos vayan apareciendo.

 

DISEÑOS ARQUITECTÓNICOS SINGULARES

En el mundo del diseño arquitectónico la geometría es la principal herramienta en la concepción de los edificios. Os presento un recorrido por algunas de las geometrías más atractivas y provocadoras.

Enjoy!