GEOMETRÍA MÉTRICA: MEDIATRIZ SOBRE UN SEGMENTO

1. DEFINICIÓN

El conjunto de puntos que son equidistantes a los extremos de un segmento permite obtener un lugar geométrico enormemente importante, el cual se emplea en numerosos casos de geometría métrica. Este lugar geométrico lo llamamos mediatriz o simetral.

Todo este conjunto de puntos conforman la mediatriz y forman una recta que es perpendicual al segmeto base por su centro. Esta propiedad permite definir la recta mediatriz de un segmento, como la recta perpendicual a un segmento que pasa por su centro (C).

2. CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIATRIZ

Cualquier punto de la mediatriz se sitúa a igual distancia de los puntos A y B. Al desplazarse a lo largo de la mediatriz la distancia a los puntos va variando pero siempre es la misma. Este concepto permite s construcción elemental para, dada la recta a, determinar dos puntos que equidisten de sus extremos. Para su construcción debemos seguir los pasos siguientes:

a) Con el compás, haciendo centro en el extremo A, se traza una circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de AB, en un cálculo, ya que precisamente estamos buscando ese punto medio exacto. Luego, haciendo centro en B, se traza otra circunferencia de igual radio que la primera.

Si ambas circunferencias no se cortan, significa que debemos aumental el radio de ambas

b) Cuando ambas se cortan, la recta que une a las dos intersecciones de las circunferencias (P1, P2) es la mediatriz del segmento AB. La intersección de la mediatriz con el segmento AB es el punto medio C.

Como resultado se obtiene una recta considerada como eje de simetría entre los puntos A y B.

3. SU IMPORTANCIA EN LA GEOMETRÍA

La mediatriz es uno de los elementos más empleados en geometría métrica para configurar lugares geométricos. Repasando algunos de los temas que se han dado en la clase:

a) Determinar una circunferencia que pasa por 3 puntos: esto se puede resolver sabiendo que la mediatriz de una cuerda de cualquier circunferencia pasa necesariamente por el centro de la misma.

b)  Construcción de arcos capaces: basándonos en lo descrito en el apartado a, para la construcción del arco se busca la intersección del lugar geométrico del centro de la circunferencia (mediatriz de la cuerda) con el ángulo complementario que forman los lados del tercer vértice.

c)  Propiedades de triángulos: en relación directa con el arco capaz, podemos decir que en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

Triángulo rectángulo

         Triángulo obtusángulo

         Triángulo acutángulo

En el caso de triángulos isósceles, el ortocentro, baricentro, incentro y el circuncentro, se encuentran alineados en la mediatriz de la base.

Como hemos visto, en este tipo de triángulos, a través de la mediatriz podemos calcular el punto circuncentro. Pero también podemos calcular este punto a través de la altura del triángulo. Para ello podemos emplear la construcción del arco capaz y determinar su ángulo central, el cual tendrá su vertice superior en el circuncentro del triángulo.

De esta forma podemos decir que el vértice del ángulo central del triángulo isósceles coincide con el circuncentro de dicho triángulo.

Con el transcurso de la asignatura iremos viendo muchos otros ejemplos de la implicancia de la mediatriz en las relaciones geométricas.

Os invito desde aquí a que vayamos coleccionando todos los casos que nos vayan apareciendo.