ANGULOS EN CIRCUNFERENCIAS

Ángulo central de una circunferencia

Dada una circunferencia, podemos definirlo como el haz de ángulos formado por dos radios de dicha circunferencia. Por ello, el vértice de unión se sitúa en el centro (O) de la circunferencia. El valor de cada ángulo es igual al arco de circunferencia que intersecta. En el ejemplo hemos trazado los radios a, b que definen el ángulo central (α) igual a la medida del arco AB

Ángulo inscrito

A diferencia del ángulo central, el ángulo inscrito está constituido por el haz de ángulos formados por dos lados que se corresponden con dos cuerdas de la circunferencia que intersectan en un punto (P) de dicha circunferencia. Por ello, el vértice de unión de estos lados se sitúa en el perímetro de la circunferencia. El valor de cada uno de estos ángulos corresponde a la mitad del arco de circunferencia que intersecta.

En el ejemplo hemos trazado las cuerdas c, d que definen el ángulo central (β), igual a la mitad de la medida del arco AB.

A partir de estas dos definiciones se puede decir que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco AB. Para demostrarlo procedemos a superponer ambos ángulos y a estudiar sus relaciones geométricas.

• Trazamos una recta que pasa por los vértices de los ángulos inscrito y central (P, O) y que corta a la circunferencia en el punto C.                                                              
• De esta forma el ángulo central (α) queda dividido en dos ángulos (α1, α2). Igualmente el ángulo inscrito (β) se divide en dos ángulos (β1, β2). Del triángulo resultante (OBC) establecemos relaciones entre sus ángulos, sabiendo que el triángulo (PBC) es rectángulo.

• Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Por tanto, para el triángulo isósceles resultante (OBC) establecemos la siguiente relación:

        α1+(90º-β1) + (90º-β1) = 180º; α1=2β1

        Del mismo modo, para el triángulo isósceles OAC podemos establecer lo siguiente:

        α2+(90º-β2) + (90º-β2) = 180º; α2=2β2

       A partid de estas dos formulaciones obtenemos la relación entre los dos ángulos:

       α=α1+α2=2β
       β= 1/2 α

  

Ángulo semiinscrito

Dada una circunferencia y un punto A de la misma, podemos definir el ángulo semiinscrio como el haz de ángulos formados por la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto A, y las cuerdas de la circunferencia que pasen por ese punto. 

En el ejemplo se ha trazado a partir del punto A la tangente a la circunferencia y la cuerda que pasa por los puntos A,B. El valor del ángulo formado α es igual a la mitad de la medida del arco BA